فراکتال ها
نمونههايي از فركتالهايي كه توسط كامپيوتر كشيده شدهاند و پيدا كردن كوچك ترين جزء و روش تكرار آنها، كار راحتي نيست
واژه فرکتال از کلمه یونانی به معنی «تکهتکه» یا «شکسته شده» گرفته شده و اولین بار در سال 1975 میلادی توسط دانشمندی به نام «مندلبورت» به کار برده شده است. اهمیت فرکتالها در علم ریاضی به این خاطر است که بسياري از وضعيتهایي كه هندسه اقليدسي از توضيح آنها ناتوان است را میتوان به کمک آنها توجیه کرد. همین دلیل باعث گستردگی و کاربرد فراوان فركتالها در سایر علوم مثل فیزیک، شیمی، نجوم، زمینشناسی و حتی هنر و معماری شده است!
برای درک بهتر موضوع بد نیست چند فرکتال ساده و معروف را بررسي كنيم و با چگونگی ساخت آنها آشنا شویم.
يكي از مشهورترين فركتالها توسط ریاضیدانی به نام «فونكخ» در سال 1904 ابداع شد. در اين فرکتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا يك مثلث متساویالاضلاع را در نظر ميگيريم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسيم ميكنيم؛ سپس به جاي پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساویالاضلاع دیگر جايگزین میکنیم و این عمل را بارها تکرار میکنیم. به این نوع فرکتالها، فركتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگتر شبيه است.
روش ساخت فرکتال« دانه برفي كخ» كه كوچك ترين جزء آن مثلث متساويالاضلاع است
نمونه بزرگ شده فرکتال دانه برفي كخ
فرکتال دیگر به «اژدهای هرترهایوی» معروف است و بر خلاف اسم عجیبش روش ساخت سادهای دارد! این شکل از یک تکه خط راست و تکرار و چسباندن آنها با زاويه
90 درجه به یکدیگر تشکیل شده است.
جدول ساخت اژدهاي «هرترهاي وي »، به نحوه تكرار و بزرگ شدن شكل دقت كنيد
اگر به جدول چگونگی ساخت این فرکتال دقت کنید، میبینید که هر خانه از تکرار خانه قبلی پدید آمده است. البته باید گفت که در بسیاری از فرکتالها روند بزرگشدن، از دستورهای ریاضی ویژهای پیروی میکند که هر یک در طبقهبندی جداگانهای قرار دارند.
یکی از ویژگیهای مهم و در عین حال پیچیده فرکتالها این است که بُعد کسری یا اعشاری دارند. همانطور که میدانید نقطه بُعد ندارد و خط یک بُعد و صفحه دو بُعد و حجمها سه بُعد دارند.
اما در هندسه فرکتالها صحبت از شکلهایی میشود که بُعدهای کسری دارند. مثلاَ اگر صفحهای از کاغذ (با ضخامت نزدیک به صفر) را مچاله کنیم، حجمی به دست میآید که بُعد اعشاری دارد.
نوعي كلم بروكلي كه نمونهاي از فركتال طبيعي تلقي ميشود
همانطور که در ابتدا گفته شد، نمونههای زیبایی از فرکتالها در طبیعت وجود دارد که میتوانید به سراغشان بروید و نحوه ساخت آنها را از نزدیک بررسی کنید. کلم بروکلی، برگ سرخس، ریشه درختها، دانههای برف و... از این قبیل هستند.